Mathematik für alle

Wer ein Smartphone in die Hand nimmt oder am PC Fotos bearbeitet, denkt kaum darüber nach, wie viel Mathematik hinter den Funktionen und Programmen steckt. Teams von Programmiererinnen und Programmierern haben jeden einzelnen Schritt mathematisch korrekt, Zeile für Zeile, programmiert. Das Ergebnis sind sogenannte Algorithmen, unveränderliche Folgen von Rechenschritten nach streng mathematischen Regeln.
 
Keine Wissenschaft hat in den letzten fünfzig Jahren so an Bedeutung gewonnen wie Mathematik. Die Voraussetzung für jede mathematische Entwicklung aber waren einfache Ziffern und ein gut funktionierendes Zahlensystem.
 
Es handelt sich, in seiner genauen Bezeichnung, um das positionelle dekadische Zahlensystem. Man kann den Wert dieses Systems, mit der Null als Zahl, gar nicht hoch genug einschätzen. Es darf sich ohne Weiteres mit dem kulturellen Wert der Cheops-Pyramide oder des Kolosseums messen.
 
Und dieses Zahlensystem ist uns samt seinen Ziffern zu 100% erhalten, weil es, wie Mathematik überhaupt, völlig abstrakt ist. Das positionelle dekadische Zahlensystem ist unverändert bis heute gültig und das Prinzip, welches dahinter steht, ist leicht auf ein System mit nur zwei Ziffern übertragbar, wie es die Digitaltechnik von Anfang an verwendet.
 
Mehr als jede Buchstabenschrift haben sich bestimmte Ziffern in allen Kulturen durchgesetzt. Das hat einen tiefen Grund. Diese Ziffern, korrekt als indisch-arabische Ziffern bezeichnet, sind im sechsten oder Anfang des siebten Jahrhunderts unserer Zeitrechnung in Indien entstanden.
 
Der folgende Gedankengang bringt eine These über diese Fundamente der Mathematik, deren zentrale Erkenntnis lautet:
 
Sowohl Ziffern als auch das dekadische System sind in Indien aus Handzeichen entstanden.
 
Der Trick der Erfinder war: Die Zahlen werden mit nur einer Hand angezeigt, nicht mit allen 10 Fingern, was naheliegend wäre, sondern, einmal beginnend mit dem Daumen, einmal beginnend mit dem kleinen Finger, der gleichen Hand.
 

Danach wurden Zeichen für Zahlen größer als 10 entwickelt und es ergab sich daraus, durch eine geniale Vereinfachung, das positionelle dekadische System für mehrstellige Zahlen. Wie das geschah, ist nicht überliefert, es soll hier, so einfach wie möglich, nachvollzogen werden.
 
Wenn man genau hinschaut und ein wenig nachdenkt, erkennt man zwischen solchen Handzeichen und unseren Ziffern verblüffende Ähnlichkeiten. Die Zusammenhänge sind nicht in allen Fällen sofort offensichtlich. Die überlieferten Ziffern sind vereinfachte, intelligente Darstellungen solcher Handzeichen, ähnlich wie die stark vereinfachten Zeichnungen von Karikaturisten. Das soll im Einzelnen dargestellt werden.

Zahlen sind Basis der digitalen Information

Informatik als Zweig der Mathematik verwendet Methoden, die Mathematiker oft schon vor zweihundert Jahren erkundet haben. Zum Beispiel das Verfahren, nach dem akustische Schwingungen in digitale Signale umgerechnet werden. Der französische Mathematiker Joseph Fourier (1768-1830) hat die Mathematik dazu entwickelt.
 
Die Digitaltechnik basiert auf Operationen mit Zahlen im dualen System. Dieses einfachste Zahlensystem mit nur zwei Ziffern ermöglicht maschinelle Rechenschritte im Nanosekunden-Takt. Der Mensch dagegen denkt im dekadischen System mit zehn Ziffern und rechnet damit zwar wesentlich langsamer, aber sehr erfolgreich.
 
Die Zahlen im dualen System sind für unser visuelles Denken zu unübersichtlich. Das dekadische System dagegen, mit seinen markanten Ziffern, ist für den Menschen von Natur aus naheliegend, selbstverständlich deshalb, weil er zehn Finger hat.
 
Hier liegt der Ursprung des Wortes digital von lateinisch digitus=Finger. Das digitale Denken beginnt also da, wo der Mensch seine Finger benutzt, um zu zählen und um schließlich die Menge von Dingen in Zahlen zu messen. Doch vom Zählen mit Fingern bis zum dekadischen und dualen System ist der Weg bisher unbekannt und geheimnisvoll...
 
Für das Ergebnis, das wir alle kennen, ist entscheidend, dass die Null als Zahl fungiert und dass die Positionen der Ziffern deren Stellenwert angeben. Es handelt sich um das positionelle dekadische System. Das duale System ist dann nur noch ein Schritt der maximalen Vereinfachung.

Zahlen aus Handzeichen oder Buchstaben

Im Folgenden wird eine These aufgestellt, die auf verblüffende Weise erklärt, wie das positionelle dekadische Zahlensystem mit den indisch-arabischen Ziffern aus Handzeichen entstand. Sollte jemand, Mathematikerin, Schriftgelehrter, Journalist oder Archäologin, die folgenden Überlegungen schon irgendwoher kennen oder davon gehört haben, dann lasst es uns bitte wissen. Die Anfänge liegen bisher im Dunkeln.
 
Erst vor 500 Jahren kam aus Arabien das dekadische System ins christliche Abendland und damit die numerische Mathematik. Die Ziffern wurden von Arabern in Indien übernommen und nach Europa gebracht, weshalb man sie früher arabische Ziffern nannte.
 
Griechen und Römer hatten Zahlwörter, die dekadisch strukturiert waren, aber ein positionelles dekadisches Zahlensystem hatten sie nicht. Römische Zahlen bestehen aus Buchstaben und Strichen, man entdeckt sie manchmal noch auf Grabsteinen. In Rechenheften und Mathematikbüchern aber kommen sie nicht vor. Warum? Weil man damit nicht rechnen kann. Man kann römische Zahlen nicht übereinander schreiben und addieren.
 
Wie viel, Herr Gaius Julius, ist D + X + III ?
Wenn man die Symbole kennt, rechnet man im Kopf oder mit dem sogenannten Abakus: 500+10+3=513
 
Mit den uns bekannten Zahlen ist das Rechnen einfacher, auch dann, wenn es eine Kolonne mit vielen Positionen zu addieren gilt. Wir schreiben sie untereinander und beginnen von hinten mit den Einern. Wer besser rechnen gelernt hat, kann mit diesen Zahlen auch multiplizieren, dividieren und sogar Wurzeln ziehen ohne digitale Hilfe.
 
Die Römer, die 500 Jahre lang die Welt beherrschten, hätten dringend Taschenrechner, Smartphones oder I-Pads benötigt, weil sie mit ihren Zahlzeichen nicht viel rechnen konnten. Ein riesiger Markt für zeitreisende Elektronik-Händler.
 
Auch die alten Griechen kannten keine numerische Mathematik, schriftliches Rechnen war nicht möglich, weil auch sie Zahlen als Buchstaben geschrieben haben. Die griechischen Gelehrten aber waren sehr gut in Geometrie, mit der sie intelligente Überlegungen anstellten. Die Namen Thales, Pythagoras und Euklid sind bekannt und jeder Schüler muss bis zum Abitur ihre Regeln lernen.

Nur einmal erfunden und doch universell

Woher aber kommt das positionelle dekadische System? Es entstand ungefähr zur gleichen Zeit, als der Buddha lehrte. Der Erleuchtete predigte den Einzug ins Nirwana und unbekannte Rechenkünstler erfanden die Zahl Null. Doch mit der Null allein ist es nicht getan.
 
Das Volk der Maya hatte auch ein Zeichen für die Null und konnte wohl damit rechnen, aber sie hatten keine handlichen Ziffern.

Die Zahlen von 1 bis 10 kann jeder Mensch mit den Fingern darstellen und in Form von Strichen aufschreiben. Schon in der Keilschrift hat man solche Zahlen in Tontafeln geritzt. Auch die Zahlen der Maya haben eine ähnliche Struktur. Striche eignen sich besser zum Rechnen als Buchstaben.
 
Das positionelle dekadische System aber hängt eindeutig mit den indisch-arabischen Ziffern zusammen. Jeder kennt sie, weil diese Ziffern die ganze Welt erobert haben. Unsere Ziffern heute sind leicht abgewandelt, aber im Wesentlichen mit den indisch-arabischen identisch.
 
Warum sind ausgerechnet diese Ziffern so universell, universeller als jede Schrift? Und wie kommen sie zustande?
 
Es sind keine Abkürzungen für Zahlwörter, also keine Buchstaben, sondern Zeichen mit einer eigenen Symbolik. Sie waren von Anfang an im vielsprachigen Indien von den dortigen Sprachen unabhängig. Warum haben die Ziffern diese charakteristische Gestalt, gibt es dafür eine Erklärung?

Handzeichen zur Verständigung auf dem Markt

An dieser Stelle der Überlegung fragt man sich, wie und wo Zahlen vor 1.500 Jahren eine große Rolle gespielt haben. Es war mit Sicherheit auf Märkten und in Basaren, wo mit Keramik, Perlen oder Schafen gehandelt wurde, es war nicht in den Studierstuben von Mathematikern, weil es die noch gar nicht gab. Die ersten Mathematiker haben aufgeschrieben, was sie über den Umgang mit Zahlen schon gelernt hatten. Haben sie die Symbole der Ziffern von Händlern gelernt, die möglicherweise nichts anderes schreiben konnten, außer Zahlen?
 
Unsere Antwort ist:
Die Händler in Indien hatten eine Methode entwickelt, Zahlen mit nur einer Hand darzustellen und sie so an andere Händler oder Kunden in Sichtweite weiter zu geben. Dazu gab es viele Gründe, zum Beispiel, dass man sich sprachlich nicht verständigen konnte, oder geheime Preisabsprachen machen wollte oder ganz einfach, um ein größeres Angebot an Waren mit mehreren Leuten zu organisieren.
 
Das ist eine Hypothese, sie geht gleich ins Detail und bringt Zahlreiche Indizien. Im Detail steckt hier nicht der Teufel, sondern die Erkenntnis der Indizien. Es besteht eine verblüffende Ähnlichkeit der indisch-arabischen Ziffern mit bestimmten Fingerstellungen an der menschlichen Hand.
 
Entscheidend ist die Vermutung, dass die Händler Zahlen mit einer einzigen Hand angezeigt haben, nicht mit beiden Händen, was näher liegt, weil man ja mit zwei Händen beim Zählen, über 5 hinaus, bis 10 zählen kann. Vermutlich brauchten diese Leute ihre andere Hand, um Gegenstände zu ordnen, zu zeigen, Waren zu sortieren oder um Schafe in einen Pferch zu schieben.
 
Wir nehmen jetzt an, dass jemand Zahlen mit der Hand anzeigen will, das ist für die ersten Zahlen sehr einfach und gleich fällt eine Ähnlichkeit mit unseren Ziffern auf. Bei den Zahlen 1 bis 4 bilden die Ziffern die Stellung der zählenden Finger nach:

Das trifft besonders auf die Zwei zu, die charakteristische Krümmung des Daumens und der ausgestreckte Zeigefinger werden durch die Ziffer 2 treffend skizziert.
 
Bei der Drei ist die arabische Schreibweise dem Handzeichen ähnlicher, unsere heutige Drei ist abgerundet. Generell muss man berücksichtigen, dass Schriftzeichen so gestaltet sind, dass man sie möglichst einfach und schnell hinschreiben kann, dadurch werden oft die Ecken abgeschliffen.


Die charakteristische Ähnlichkeit der Vier mit dem Handzeichen besteht darin, dass auch die Ziffer, je nach Schreibweise, vier Enden hat, welche die zählenden Finger markieren und es wird die besondere Stellung des Daumens berücksichtigt. Die arabische Vier zeigt ebenfalls die Fingerstellung mit zwei spitzen Winkeln, ähnlich einem doppelten Buchstaben V.


 

Bei der Fünf müssen wir unterscheiden zwischen der modernen Fünf und der original arabischen Ziffer.

 

 

Mit 5 Fingern bis 9 zählen
 

Es mag sein, dass die ersten fünf Ziffern nicht voll überzeugen, sie zeigen aber, dass wir auf der richtigen Fährte sind. Wir wollen nicht die anderen Hand nehmen, um weiter zu zählen. Was liegt näher, als 6 und 7 so anzuzeigen, dass man nicht mit dem Daumen, sondern mit dem kleinen Finger beginnt?
 
Die Ziffer 6 entpuppt sich als die einfachste Möglichkeit das Handzeichen, im Unterschied zur Eins, mit dem nach oben ausgestreckten kleinen Finger und dem großen Rest der Hand in einer einzigen Schreibbewegung wiederzugeben. Hier ist die Ziffer, wie schon bei der Fünf, die vereinfachte Abbildung der ganzen Hand.
 

Bei der Ziffer 7 kommt es darauf an, dass die Stellung der Hand und die Stellung der Ziffer übereinstimmen. Es ist kein Wunder, dass in der arabischen Darstellung die 7 in einem anderen Winkel steht und mit der Winkelspitze nach oben zeigt. Das macht für die Symbolik keinen Unterschied.

 

 


Bis jetzt sind alle Ziffern von 1 bis 7 direkte, vereinfachte Darstellungen der Zeichen, wie sie mit den Fingern einer Hand möglich sind. Doch die Ziffern 8 und 9 folgen einem anderen Muster. Damit keine Verwechslungen auftreten, haben sich die Erfinder der geschriebenen Zahlen, für die Acht und die Neun etwas besonders Intelligentes einfallen lassen.

8 und 9 zeigen nicht die zählenden Finger, sondern die versteckten!
Die 8 zeigt das charakteristische Überkreuzen von Daumen und Zeigefinger. Das ist praktisch, um die anderen drei Finger weit zu spreizen. Das Kreuz wird bei der arabischen Form der 8 deutlicher, in der Modernen Acht ist die Form wie bei der Drei abgerundet, das markante Kreuz in der Mitte bleibt aber bestehen.
 
Bei der 9 erkennt man den eingerollten Daumen, der so aussieht wie der Rüssel eines Elefanten.

Wer diese Darstellung der Neun erfunden hat, hat bereits Milliarden Klicks und Likes für diese Idee bekommen, denn die Neun wurde so in alle Schriften übernommen und jede 9 auf der Welt erweist den Respekt für diese geniale Idee.
 
Die Darstellung der Neun ist gleichzeitig ein starker Beleg für die Theorie von den Zahlen aus einer Hand.

Die These besagt:
 
Die indisch-arabischen Ziffern geben so einfach und unverwechselbar wie möglich die Fingerstellungen wieder, die dadurch entstehen, dass man Zahlen mit einer Hand darstellt, wobei man beim Zählen von 1 bis 5 mit dem Daumen beginnt und bei 6 bis 9 mit dem kleinen Finger der gleichen Hand.
 
Um diese Behauptung zu belegen, sind die Vier und die Neun besonders überzeugend. Obwohl mit der Hand jeweils vier Finger gezeigt werden, betonen die Ziffern ganz charakteristisch den Unterschied. Einmal meint die Ziffer 4, in der offenen Schreibweise, die vier zählenden Finger und bei der 9 zeigt sie den nicht beteiligten, eingerollten, Daumen.
 
Das Wort Gobar auf dem grünen Bild mit allen historischen Varianten der Neun ist der Hindu-Sprache entnommen, es bedeutet Staub. Es handelt sich um die Variante von Zahlen in der sogenannten Gobar-Schrift, der Staubschrift.
 
Dieses Wort löst bei uns die Vorstellung aus, wie jemand mit einem Finger Zahlen in den Staub oder Sand schreibt, um sie zu addieren oder damit weiter zu rechnen. Die indisch-arabischen Ziffern sind so einfach gestaltet, dass man sie ohne Weiteres mit einem Finger in den Sand schreiben kann und wenn man vergessen hat, wie eine Ziffer geschrieben wird, braucht man die Zahl nur mit der linken Hand zu formen und kann sie mit der rechten Hand schreiben. Es ist kinderleicht: 1 ist der Daumen, 6 ist der kleine Finger.

Mehrstellige Zahlen

Unsere Zahlen sind also Zahlen aus einer Hand. Das ist ganz wörtlich zu verstehen. Ziffern und das positionelle dekadische Zahlensystem sind aus Handzeichen zur Übermittlung von Zahlen mit nur einer Hand entstanden. Die Ziffern verweisen auf markante Stellungen der Finger und das dekadische System ist dazu da, um Zahlen größer als neun genau so mit nur einer Hand zu übermitteln.
 
Dazu fehlt bisher noch ein Zeichen für die Zehn. Es ist besonders nahe liegend, die Zehn im Gegensatz zur Fünf, als geschlossene Faust darzustellen. Wir nehmen jetzt an, dass man zunächst die Faust als das Symbol für 10 genommen hat.
 
Die folgenden Figuren vor grauem Hintergrund sind eine Übergangslösung, bei der die Faust für 10 steht. Dann wird man die Zahlen 11 und 12 so darstellen, dass man erst eine Faust und dann die Zeichen für 1 und 2 zeigt.

   

Das ginge so weiter bis zwanzig, bestehend aus zwei Fäusten und danach käme dreißig mit drei Fäusten.

Die Zahl 36 würde dann so wiedergegeben:

Es zeigt sich schnell, dass die Darstellung bei 70, 80, 90 unübersichtlich wird, wenn das Zeichen für zehn immer wiederholt werden muss. Also wäre der nächste Schritt, die Zahl der Fäuste ebenfalls als Ziffer darzustellen, die Zahl 36 sähe dann so aus:

Und dann kommt der entscheidende Gedankensprung:
 
Die Faust für den Zehner kann man auch weglassen, weil sie als Zeichen selbstverständlich ist, wenn man nur folgendes weiß, bzw. vereinbart hat:
 
Die Ziffern 3 und 6 gehören als Zahl zusammen, wobei 3 mit 10 zu multiplizieren ist, was durch die Reihenfolge der Zeichen angegeben wird. Die Zahl 36 kann unter diesen Voraussetzungen mit nur zwei Handzeichen dargestellt werden:

Das ist der Sprung zum positionellen dekadischen System!
 
Als Konsequenz daraus werden jetzt auch die drei Zehner für 30 nur noch mit zwei Symbolen dargestellt.

 


Die Erfindung der Null als Zahl

Zunächst ist die Faust in dieser Darstellung von 30 noch das Symbol für den Zehner, aber gleichzeitig schon das Zeichen für Null! Die Faust bedeutet ja auch, ganz konkret, dass man keine Finger, also null Finger zeigt.

Wenn man dann rückwärts bis zur Zehn geht und die Zehn nach dem gleichen Prinzip darstellt wie 40, 30 und 20, dann wird zehn eine zweistellige Zahl. Die Faust ist jetzt ausschließlich das Zeichen für die Null und Null ist die zehnte Ziffer im dekadischen System. Ein einfaches Handzeichen für 10 existiert nicht mehr, es ist überflüssig.
 
Die geniale Idee, die das positionelle dekadische System aus Indien kennzeichnet, besteht darin, dass man trotz der Zehn Finger, die der Mensch zum Zählen hat, nur neun Zeichen für die Zahlen nimmt und die Zehn mit zwei Zeichen, darstellt, wovon das zweite Zeichen Null bedeutet.
 
Das ist zunächst verrückt. Wie kommt jemand darauf?
 
Um den Gedankengang, der dazu führt, plausibel zu machen, wurde erst einmal angenommen, dass die Faust als Symbol für 10 gilt. Weil das nur eine vorübergehende Lösung war, haben die entsprechenden Abbildungen für die (später vereinfachten) Zwischenstationen einen grauen Hintergrund. Man kann sie gleich wieder vergessen. Sie erklären nur, wie jemand auf die Idee kommt, die Zahl 10 zweistellig darzustellen, indem er die Darstellung von 40, 30 und 20 auf zwei Zeichen vereinfacht und dann das Prinzip rückwärts auf 10 überträgt.

Ein positionelles Zahlensystem nach Potenzen

Das ist die Erfindung eines Zahlensystems, in dem verschiedene Positionen durch ihre Reihenfolge eine Potenz (0, 1, 2, 3...) der Grundzahl, in diesem Fall 10, darstellen. Wenn das mathematische Prinzip einmal erkannt ist, kann man leicht ein anderes, z.B. hexadezimales und auch das duale Zahlensystem konstruieren.
 
Um sich generell mit Handzeichen über mehrstellige Zahlen zu verständigen, ist es erforderlich eine beliebige Geste für das Ende einer Zahl zu nutzen. Das kann einfach eine waagerechte Bewegung mit der Hand sein, die sagt, hier ist die Zahl zu Ende. Diese Geste ist als Zeichen für das Ende einer Sache allgemein üblich (und setzt sich fort im Wischen über den Bildschirm), jedes andere Zeichen wäre aber genau so gut. Wenn man zu schriftlichen Zahlen übergeht, entfällt die Notwendigkeit, das Ende einer Zahl zu markieren, das wird durch den Abstand deutlich.
 
Für das Schreiben von Zahlen muss ein eindeutiges Zeichen für Null existieren, welches der geschlossenen Faust ähnlich ist. Im arabischen Zahlensystem ist die Null meistens ein Punkt, was ganz gut als Zeichen für die Faust passt. Ähnliches gilt für einen Kreis oder ein Oval. Dann muss sich aber das Zeichen für 5 deutlich davon unterscheiden. Unsere moderne Fünf erfüllt diese Bedingung sehr gut.
 
Das positionelle dekadische Zahlensystem und die indisch-arabischen Ziffern sind eine Einheit. Es gäbe kein digitales Zeitalter ohne diese kulturelle Errungenschaft.
 
Natürlich wäre es möglich, dass ein einzelner Mathematiker, der schreiben konnte, damals in Indien dieses System entwickelt hat. Dem widerspricht aber die Tatsache, dass die Ziffern den Handzeichen so ähnlich sind. Diese Ähnlichkeit entsteht nur im Zusammenhang mit dem Versuch, sich durch Handzeichen mit einer Hand, über Zahlen beliebiger Größe zu verständigen.
 
Rob Kenius, Idee, Text, Fotos, Webdesign


 
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